행렬

행렬

행과 열로 구성되는 사각형 형태로 수를 배열한 것 입니다.

1	2	3
4	5	6
7	8	9

 

표기법

m, n이 양의 정수일 때, m개의 행과 n개의 열로 구성된 직사각형의 수 배열 A를 m * n 행렬이라 합니다.

표기법
A의 (i, j) 원소 -> aij 
A = (aij)

row vector : 1 * n 행렬 (행벡터)
column vector : m * 1 행렬 (열벡터)

 

영행렬(zero matrix)

모든 원소가 0인 행렬을 영행렬이고 합니다.

 

 

행렬의 연산

행열의 합, 차, 스칼라 곱

EX)

크가가 같은 행렬 A, B가 있을 때, k가 실수라 가정하면,

 

행열의 합

1. A + B 는 같은 위치의 A와 B의 원소를 더해서 구해지는 행렬로서 (i, j) 원소의 값은 aij + bij 입니다.

 

행열의 차

2. A - B 는 같은 위치의 A 원소로부터 B의 원소로 빼서 구해지는 행렬로서 (i, j) 원소의 값은 aij - bij 입니다.

 

스칼라 곱

kA는 A의 각 원소에 k를 곱해서 구해지는 행렬로서 (i, j) 원소의 값은 kaij 입니다.

 

행렬의 합과 스칼라 곱의 연산법칙

행렬의 합과 스칼라 곱은 같은 크기의 행렬 A, B, C에 대해 다음과 같은 연산법칙들을 만족합니다. (a, b는 실수이며 0은 모든 원소가 0인 영행렬을 의미합니다.)

합의 교환법칙
A + B = B + A

합의 결합법칙
A + (B + C) = (A + B) + C

합의 항등원
A + 0 = A

스칼라 곱의 결합법칙
(ab)A = a(bA)

스칼라 곱의 분배법칙(합)
(a + b)A = aA + bA

스칼라 곱의 분배법칙(차)
(a - b)A = aA - bA

스칼라 곱의 분배법칙(스칼라 합)
a(A + B) = aA + aB

스칼라 곱의 분배법칙(스칼라 차)
a(A - B) = aA - aB

 

행렬의 곱

A가 m * n 행렬이고 B가 n * l 행렬일 때, 행렬의 곱 AB는 (i, j)원소가 다음과 같이 정의되는 m * l 행렬입니다.

       n
ABij = ∑ aikbkj = ai1b1j + ai2b2j + ... + ainbnj
      k=1
      
      
A = (an ...)
B = (bn ...)
A와 B의 내적 A . B 정의
A . B a1b1 + anbn ...

A = (1, 2, 3)
B = (-1, 0, 2)

A . B = -1 + 0 + 6 = 5

 

행렬 A, B가 다음과 같을 때, A1B1를 계산 한다면

A = {{4,-1}, {2, 3}, {1, 5}}
B = {{7, -3}, {9, -2}}

A = 3 * 2, B = 2 * 2

내적
m * l = 3 * 2
n * n = 2 * 2

---------------------------

                 7
A1B1 = [4 -1]  [   ] = 4 * 7 + (-1) * 9 = 19
                 9

 

행렬 곱의 연산법칙

행렬 A, B, C가 각 연산에 적합한 크기의 행렬이라 할 때, 다음과 같은 연산법칙에 성립합니다.

곱의 결합법칙

A(BC) = (AB)C

 

곱의 분배법칙

A(B + C) = AB + AC 

(A + B)C = AC + BC 

 

※ 하지만, 행렬의 곱은 교환법칙이 성립하지 않는다.

 

 

행렬의 거듭제곱 (A가 정방행렬)

Ar As = A r+s, (Ar)s = Ars

 

가우스 소거법

연립 방정식
x + 2y - z = 2
2x + 5y + z = 3
3x + 4y - 4y = 13

행렬
   A          X   B
1  2  -1    | x | 2
2  5   1    | y | 3
3  4  -4    | z | 13


행렬 방정식
A(계수행렬)X(미지수행렬) = B(상수행렬)
AX = B

만일 A의 역행렬 A^-1 이 존재한다면
AX = B의 양변에 A^-1를 곱하면 A^-1AX = IX = X A^-1 B와 같이 방정식의 해를 구할 수 있다.

 

※기본행연산

 

행 교환 연산 (R i,j)

두 행의 위치를 서로 바꾸는 연산

 

행스케일링 연산( Ri(c) )

하나의 행에 0이 아닌 스칼라를 곱하는 연산

 

행 대체 연산 ( Ri,j(c) )

하나의 행에 스칼라 곱을 해서 다른 행에 더하는 연산

 

일차연립방정식 -> 확대행렬 -> 행제형 행렬(가우스 소거법) -> 소거 행제형 행렬 (가우스 조르단 소거법)

 

※행제형 행렬

영행이 아닌 행은 영행의 위에 있다.

영행이 아닌 행의 첫 번째 0이 아닌 원소를 그행의 선도원소라 한다. 모든 선도원소는 1이다.

주어진 행의 선도원소는 그 아래 행의 선도원소보다 왼쪽에 있다.

 

행렬의 종류

정방행렬

n * n 행렬을 n차  정방행렬이라고 하며, n을 정방행렬의 차수라 합니다.

대각원소: 정방행렬의 대각, 대각원소를 포함하는 대각선 (주대각선)

 

대각행렬

n차 정방행렬에서 대각원소 이외의 모든 원소가 0인 핸렬을 대각 행렬이라 합니다.

 

단위행렬

n차 정방행렬에서 대각원소가 모두 1이며 나머지 원소는 모두 0인 행렬을 단위행렬이라고 말합니다.(I n으로 표기합니다.)

 

대칭행렬

n차 정방행렬에서 aij = a ji인 행렬을 대칭행렬이라 합니다.

 

역대칭행렬

n차 정방행렬에서 aij = -aji 이고 대각원소가 모두 0인 행렬을 역대칭행렬 (교대행렬)이라고 합니다.

 

삼각행렬

n차 정방행렬에서 주대각선 아래에 있는 모든 원소들이 0일 때 상삼각행렬이라 합니다. 또는 주대각선 위에 있는 모든 원소들이 0일 경우 하삼각행렬이라 합니다.

 

전치행렬

m * n 행렬 A가 주어졌을 때, A의 행과 열을 서로 교환한 행렬을 A의 전치행렬이라 합니다.(A t)

 

역행렬

n차 정방행렬 A,B가 주어졌을 때, AB = BA = I n인 행렬 B가 존재하는 경우 행렬 A를 역가능합니다.

 

부울행렬

행렬의 모든 원소가 부울값 0 or 1로 구성되어 있는 행렬을 부울행렬이라 합니다.

 

크기가 m * n 인 두 행렬 A = [aij]와 B = [bij]가 부울행렬일 때

A와 B의 합 OR

(i, j) 원소가 aij ∨ bij 이고 크기가 m * n 인 부울행렬 C
C = A ∨ B

 

A와 B의 교차 AND

(i, j) 원소가 aij ^ bij 이고 크기가 m * n 인 부울행렬 C
C = A ^ B

 

m * n 행렬 A = [aij]와 n * l 행렬 B = [bij]가 부울행렬일 때,

A와 B의 부울곱

(i, j) 원소가 다음과 같이 정의되는 m * l 크기의 부울행렬 C
C = A ⋅ B

Cij = (ai1 ^ b1j) ∨ (ai2 ^ b2j) ... ∨(ain ^ bnj)

 

 

감사합니다.