집합

집합론

집합과 원소는 다른 정의 없이 사용하는 부정의 용어입니다. 집합론의 창시자인 게오르크 칸토어(Georg Cantor)는 집합을 우리의 직관이나 사고로부터 한정적 분리된 객체들의 모임이라고 정의 하였습니다.

 

집합

원소나열법, 조건제시법, 부분집합, 집합의 상동, 분할, 멱집합, 집합 연산(합집합, 교집합, 여집합, 대칭차집합), 곱집합, 집합의 대수법칙, 원소논증 등이 있습니다.

 

논리학과 집합론

p(x) ∨ g(x)  A ∪ B (합집합) 
p(x) ∧ g(x)  A ∩ B (교집합)

 

집합과 원소

무정의 용어- 정의 없이 사용하는 용어, 직관적으로 이해할 수 있으나 다른 용어로 정의하기 힘든 대상을 표현하기 위해 사용되었습니다.

 

집합의 표시법

A가 하나의 집합 일때,  a는 A의 원소이고, b는 A의 원소가 아니라고 할 때 표기하는 방법은 다음과 같습니다.

a ∈ A, b ∉ A

 

집합의 표기 방법

A는 중괄호( { , } )로 표시합니다.

원소나열법: A = {1, 2, 3}

조건나열법: A = {x | 0 < x < 4인 자연수}

 

부분집합

부분집합 정의: A의 모든 원소가 B의 원소이면 A는 B의 부분집합 입니다.

A ⊆ B or A ⊂ B

OR

∀x (x ∈ A -> x ∈ B)

 

진부분집합 정의: A는 B의 진부분집합이면 

A ⊆ B, A ⊄ B

OR

A ⊆ B, A ≠ B

 

A는 B속하지만 다른 값이 있을 때

 

상동 정의: A와 B가 같을 때 (A = B)

A ⊆ B, and B ⊆ A

 

서로소

서로소, 쌍으로 서로소: 집합 A와 B는 서로소 일 때

A ∩ B = Ø

n개의 집합 A1, A2, ..., An 쌍으로 서로소 입니다. (교집합의 원소가 없다)

 

분할

집합 A를 Ø(공집합)이 아닌 부분집합들로 나눌 때 A의 모든 원소들이 각각 나누어진 부분집합들 중 하나에만 포함될 때 이부분집합들의 전체 집합을 A의 분할이라고 합니다.

P = {A1, A2, ..., An}

A ≠ Ø -> P = {A}

 

ex) Z가 모든 정수의 집합일 때 

Z0 = {z | z = 2k, k는 정수}

Z1 = {z | z = 2k + 1, k는 정수} 라면, {z0, z1}은 z의 분할

Z0 ∪ Z1 = Z

Z0 ∩ Z1 = Ø

 

 

멱집합

집합 A의 모든 부분집합들의 집합을 A의 멱집합이라고 하고, P(A)로 표기합니다. 집합 B = {a, b, c} 일 때, B의 멱집합 P(B)을 구한다면 다음과 같습니다.

P(B) = {Ø, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

멱집합의 원소 수

| B | = n -> | P(B) | = 2^n

 

 

집합연산

U: 전체집합, A ⊂ U, B ⊂ U라 가정하면 예제는 다음과 같습니다.

 

합집합

A ∪ B = {x ∈ U | x ∈ A ∨ x ∈ B}

 

교집합

A ∩ B = {x ∈ U | x ∈ A ∧ x ∈ B}

 

차집합

A - B = { x ∈ U | x ∈ A ∧ x ∉ B}

 

여집합

Ac = U - A = {x ∈ U | x ∉ A}

 

대칭차집합

A ⊕ B = {x ∈ U | x ∈ A ∪ B ∧ x ∉ A ∩ B}

합집합이면서 교집합을 뺀 나머지 집합

 

곱집합

전체집합,  A ⊂ U, B ⊂ U라 가정하면 A의 원소 a와 B의 원소 b로 만들어지는 순서쌍 (a, b)들의 집합을 A와 B의 곱집합이라고 합니다.

A X B = {(a,b) | a ∈ A, b ∈ B}

 

 

참고 사이트: https://www.rapidtables.com/math/symbols/Basic_Math_Symbols.html

Math Symbols List (+,-,x,/,=,...)

 

 

감사합니다.